\(M=\frac12+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(2M=1+\frac32+\frac{5}{2^2}+\frac{7}{2^3}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n-1}}\)

\(2M-M=1+\left(\frac32-\frac12\right)+\left(\frac{5}{2^2}-\frac{3}{2^2}\right)+\cdots+\left(\frac{2n-1}{2^{n-1}}-\frac{2n-3}{2^{n-1}}\right)-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=1+\frac22+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots+\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=1+1+\frac12+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=1+\frac{1.\left\lbrack1-\left(\frac12\right)^{n-1}\right\rbrack}{1-\frac12}-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=1+2.\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=1+2-\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=3-\frac{4}{2^{n}}-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=3-\frac{2n+3}{2^{n}}.\)

Gọi $x$ là giá niêm yết của quyển từ điển (nghìn đồng; \(0<x<750\))

Giá niêm yết của món đồ chơi: \(750-x\) (nghìn đồng)

Số tiền thực tế mua quyển từ điển: \(\left(100\%-20\%\right)x=0,8x\) (nghìn đồng)

Số tiền thực tế mua đồ chơi: \(\left(100\%-10\%\right)\left(750-x\right)=0,9.\left(750-x\right)\) (nghìn đồng)

Tổng số tiền Bình phải trả thực tế là \(630\) nghìn đồng nên:

\(0,8x+0,9.\left(750-x\right)=630\)

\(0,8x+675-0,9x=630\)

\(-0,1x=-45\)

\(x=450\) (thỏa mãn)

Giá niêm yết của món đồ chơi:

\(750-450=300\) (nghìn đồng)

Vậy giá niêm yết của quyển từ điển là \(450\) (nghìn đồng); món đồ chơi là 300 (nghìn đồng).

\(S=\frac{2}{1\times3}+\frac{2}{3\times5}+\frac{2}{5\times7}+\cdots+\frac{2}{2023\times2025}\)

\(=\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac17\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025}\right)\)

\(=1-\frac13+\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025}\)

\(=1-\frac{1}{2025}\)

\(=\frac{2025}{2025}-\frac{1}{2025}\)

\(=\frac{2024}{2025}.\)

Bài 2:

1)

\(AB=BC\Rightarrow B\in\) đường trung trực của $AC$

\(CD=DA\Rightarrow D\in\) đường trung trực của $AC$

\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của $AC$

2)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CBD\):

\(BD\) chung

\(AB=CB\)

\(AD=CD\)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta CBD\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{C}\)

Xét tứ giác $ABCD$:

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{o}\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+100^{o}+\widehat{A}+70^{o}=360^{o}\)

\(\Rightarrow2\widehat{A}+170^{o}=360^{o}\)

\(\Rightarrow2\widehat{A}=190^{o}\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=95^{o}\)

Vậy \(\widehat{A}=\widehat{C}=95^{o}\)

Bài 7:

Vì các góc tỉ lệ với \(1:2:3:4\) nên áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{\widehat{A}}{1}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{3}=\frac{\widehat{D}}{4}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}}{1+2+3+4}=\frac{360^{o}}{10}=36^{o}\)

Suy ra: \(\begin{cases}\widehat{A}=1.36^{o}=36^{o}\\ \widehat{B}=2.36^{o}=72^{o}\\ \widehat{C}=3.36^{o}=108^{o}\\ \widehat{D}=4.36^{o}=144^{o}\end{cases}\)

Vậy \(\widehat{A}=36^{o};\widehat{B}=72^{o};\widehat{C}=108^{o};\widehat{D}=144^{o}.\)

Tổng số vốn ban đầu:

\(100.70=7000\) (nghìn đồng)

a)

Giá bán mỗi chiếc áo để đạt lãi \(20\%\) trên vốn:

\(70.\left(1+20\%\right)=84\) (nghìn đồng)

b)

Số tiền thu được từ \(80\) cái áo đầu tiên:

\(80.84=6720\) (nghìn đồng)

Giá bán mỗi chiếc áo sau khi giảm \(20\%\):

\(84.\left(1-20\%\right)=67,2\) (nghìn đồng)

Số áo còn lại cần bán:

\(100-80=20\) (cái)

Số tiền thu được từ số áo còn lại:

\(20.67,2=1344\) (nghìn đồng)

Tổng số tiền thu được sau khi bán hết:

\(6720+1344=8064\) (nghìn đồng)

Phần trăm tiền lãi trên số vốn ban đầu:

\(\frac{8064-7000}{7000}.100=15,2\%\).

Vì \(957.957=915849\) nên căn bậc hai số học của \(915849\) là \(957.\)

\(3^{x-1}+3^{x}=108\)

\(3^{x}.\frac13+3^{x}=108\)

\(3^{x}.\left(\frac13+1\right)=108\)

\(3^{x}.\frac43=108\)

\(3^{x}=108.\frac34\)

\(3^{x}=81\)

\(3^{x}=3^4\)

\(x=4\)

Vậy $x=4$.

\(x^2+y^2-3x-3y+xy+3=0\)

\(2x^2+2y^2-6x-6y+2xy+6=0\)

\(\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2-4x-4y+4\right)=0\)

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left\lbrack\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)+4\right\rbrack=0\)

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x+y-2\right)^2=0\)

Mà \(\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\ \left(y-1\right)^2\ge0\forall y\\ \left(x+y-2\right)^2\ge0\forall x,y\end{cases}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\begin{cases}x-1=0\\ y-1=0\\ x+y-2=0\end{cases}\) hay \(\begin{cases}x=1\\ y=1\end{cases}\)

\(Q=\left(x-y\right)^{2026}+\left(x-2\right)^{2025}+y^{2024}\)

\(=\left(1-1\right)^{2026}+\left(1-2\right)^{2025}+1^{2024}\)

\(=0-1+1\)

\(=0\).

a)

\(700+200+900+300+800+100+921+79+510+490+643+357\)

\(=\left(700+300\right)+\left(200+800\right)+\left(900+100\right)+\left(921+79\right)+\left(510+490\right)+\left(643+357\right)\)

\(=1000+1000+1000+1000+1000+1000\)

\(=6000\)

b)

\(12+35+76+62+65+38+24+88\)

\(=\left(12+88\right)+\left(35+65\right)+\left(76+24\right)+\left(62+38\right)\)

\(=100+100+100+100\)

\(=400\)

c)

\(9+6+3+1+5+8+7+2+4+5\)

\(=\left(9+1\right)+\left(6+4\right)+\left(3+7\right)+\left(8+2\right)+\left(5+5\right)\)

\(=10+10+10+10+10\)

\(=50\)

d)

\(5\times2+6\times5+1\times5+5\times1\)

\(=5\times\left(2+6+1+1\right)\)

\(=5\times10\)

\(=50\)

e)

\(12\times4\times12\times5\times5\times12\)

\(=\left(12\times12\times12\right)\times\left(4\times5\times5\right)\)

\(=1728\times100\)

\(=172800\).

a)

\(M=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{19}\)

Ta có:

\(\frac{1}{11}<\frac{1}{10}\)

\(\frac{1}{12}<\frac{1}{10}\)

\(\ldots\)

\(\frac{1}{19}<\frac{1}{10}\)

Suy ra: \(M<\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{10}=\frac{9}{10}=1\left(1\right)\)

Lại có:

\(\frac{1}{11}>\frac{1}{20}\)

\(\frac{1}{12}>\frac{1}{20}\)

\(\ldots\)

\(\frac{1}{19}>\frac{1}{20}\)

Suy ra: \(M>\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{20}=\frac{9}{20}>0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2), ta thấy: \(0<M<1\)

Vậy $M$ không là số nguyên.

b)

\(N=\left(\frac13+\frac14+\frac15\right)+\left(\frac27+\frac29+\frac{2}{11}\right)\)

Ta có:

\(\frac13+\frac14+\frac15<\frac13+\frac13+\frac13=1\)

\(\frac27+\frac29+\frac{2}{11}<\frac26+\frac26+\frac26=1\)

Suy ra: \(N<1+1=2\left(1\right)\)

Lại có:

\(\frac13+\frac14+\frac15=\frac{20+15+12}{60}=\frac{47}{60}\)

\(\frac27+\frac29+\frac{2}{11}>\frac{2}{12}+\frac{2}{12}+\frac{2}{12}=\frac{30}{60}\)

Suy ra: \(N>\frac{47}{60}+\frac{30}{60}=\frac{77}{60}>1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2), ta thấy: \(1<N<2\)

Vậy $N$ không là số nguyên.